Fórmula de integración por partes

La integración por partes es la técnica que se usa cuando el integrando es un producto de dos funciones de distinta naturaleza, como x·eˣ, x·cos x o ln x. Su fórmula es ∫ u dv = u·v − ∫ v du y permite transformar una integral difícil en otra más sencilla, siempre que elijamos bien las funciones u y dv.

De dónde sale la fórmula

Viene de la regla del producto. Si u y v son funciones derivables, d(uv) = u dv + v du. Integrando ambos lados: uv = ∫u dv + ∫v du, y despejando se obtiene ∫u dv = uv − ∫v du. Es decir, la integración por partes es la regla del producto «al revés».

Cómo aplicarla

1. Elige u (la parte que se deriva) y dv (la parte que se integra). La regla LIATE ayuda a decidir.
2. Calcula du derivando u y v integrando dv (sin constante).
3. Aplica la fórmula y resuelve la nueva integral ∫v du.
4. Añade la constante C al final y comprueba derivando.

Ejemplo 1: ∫ x·eˣ dx

Elegimos u = x y dv = eˣ dx. Entonces du = dx y v = eˣ. Aplicando la fórmula: ∫x eˣ dx = x eˣ − ∫eˣ dx = x eˣ − eˣ + C = eˣ(x − 1) + C.

Ejemplo 2: ∫ x·cos x dx

Tomamos u = x y dv = cos x dx, de modo que du = dx y v = sen x. Resulta ∫x cos x dx = x sen x − ∫sen x dx = x sen x + cos x + C.

Ejemplo 3: ∫ ln x dx

Parece que no hay producto, pero se puede escribir ln x · 1. Tomamos u = ln x y dv = dx; entonces du = dx/x y v = x. Así ∫ln x dx = x ln x − ∫x·(1/x) dx = x ln x − ∫dx = x ln x − x + C.

Aplicarla varias veces

Para ∫x² eˣ dx, con u = x² y dv = eˣ dx, obtenemos x² eˣ − 2∫x eˣ dx. La integral restante ya la resolvimos en el ejemplo 1, así que ∫x² eˣ dx = x² eˣ − 2(x eˣ − eˣ) + C = eˣ(x² − 2x + 2) + C. Con potencias mayores de x se repite el proceso tantas veces como indique el exponente; existe además el método tabular, que ordena estos pasos en una tabla.

Integrales cíclicas

En ∫eˣ sen x dx, al aplicar por partes dos veces reaparece la misma integral. Llamando I a la integral: I = eˣ sen x − eˣ cos x − I, de donde 2I = eˣ(sen x − cos x) y I = eˣ(sen x − cos x)/2 + C. Se comprueba derivando que el resultado es correcto.

Integrales definidas

En una integral definida la fórmula se evalúa en los límites: ∫ₐᵇ u dv = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Por ejemplo, ∫₀¹ x eˣ dx = [x eˣ − eˣ]₀¹ = (e − e) − (0 − 1) = 1.

Errores frecuentes

• Elegir mal u y dv y terminar con una integral más complicada que la inicial.
• Olvidar el signo negativo delante de ∫v du.
• Añadir una constante a v: no hace falta, la constante final ya la contiene.

Prueba tus propios ejercicios en la calculadora de integración por partes, que muestra la elección de u y dv en cada paso.

Ejercicios propuestos

Calcula ∫x e^(−x) dx; ∫x sen x dx; ∫₁^e ln x dx.

Respuestas: −e^(−x)(x + 1) + C; −x cos x + sen x + C; 1.

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