Regla LIATE para elegir u y dv

En la integración por partes lo más difícil es decidir qué función será u y cuál será dv. La regla LIATE es una guía práctica que ordena los tipos de funciones según su prioridad para ser u. No es una ley matemática, sino una heurística que funciona en la gran mayoría de los ejercicios de un curso.

Qué significa LIATE

• L – Logarítmicas: ln x, log x.
• I – Inversas trigonométricas: arcsen x, arctan x, arcsec x.
• A – Algebraicas: x, x², polinomios.
• T – Trigonométricas: sen x, cos x, tan x.
• E – Exponenciales: eˣ, e^(ax), aˣ.

Se elige como u la función que aparece primero en esta lista; el resto del integrando (incluido dx) forma dv.

Por qué funciona

La idea es que u se derive y dv se integre. Los logaritmos y las funciones trigonométricas inversas son difíciles de integrar pero se simplifican al derivarlas (la derivada de ln x es 1/x y la de arctan x es 1/(1+x²)), por eso van primero. Las exponenciales y las trigonométricas directas son fáciles de integrar sin volverse más complejas, por eso quedan al final y suelen ser dv.

Ejemplo 1: ∫ x ln x dx

Aparecen una algebraica (x) y una logarítmica (ln x). L va antes que A, así que u = ln x y dv = x dx. Entonces du = dx/x y v = x²/2. Resulta ∫x ln x dx = (x²/2) ln x − ∫(x²/2)(1/x) dx = (x²/2) ln x − ∫x/2 dx = (x²/2) ln x − x²/4 + C.

Ejemplo 2: ∫ x arctan x dx

Una inversa (arctan x) y una algebraica (x). La inversa va primero: u = arctan x, dv = x dx, du = dx/(1+x²), v = x²/2. Entonces ∫x arctan x dx = (x²/2) arctan x − ½∫x²/(1+x²) dx. Como x²/(1+x²) = 1 − 1/(1+x²), la integral restante vale x − arctan x. El resultado es ((x²+1)/2) arctan x − x/2 + C.

Qué pasa si eliges al revés

Si en ∫x eˣ dx tomamos u = eˣ y dv = x dx, obtenemos (x²/2)eˣ − ∫(x²/2)eˣ dx. La nueva integral tiene x² en lugar de x: es peor que la original. Con la elección correcta (u = x, dv = eˣ dx) el grado del polinomio baja, y por eso LIATE pone A antes que E. Si te pasa esto, es una señal para intercambiar los papeles de u y dv.

Cuando LIATE no basta

• Cuando conviene sustituir primero. En ∫x³ e^(x²) dx, con w = x² se tiene dw = 2x dx, y la integral queda ½∫w e^w dw. Esta se resuelve por partes: ½ e^w(w − 1) + C, es decir, ½ e^(x²)(x² − 1) + C. Aquí la sustitución se hace antes de aplicar partes.
• Integrales cíclicas como ∫eˣ cos x dx: da igual cuál elijas como u, pero debes mantener el mismo criterio en los dos pasos.
• Productos que ya contienen la derivada de otra parte, como ∫x e^(x²) dx, se resuelven mejor por sustitución.

Resumen práctico

Lee el integrando, identifica los dos tipos de función que aparecen, aplica LIATE para decidir u, y si la nueva integral empeora, intercambia los papeles. Para practicar, la calculadora de integración por partes muestra qué elección hace en cada ejercicio y cuántas reducciones necesita.

Ejercicios propuestos

Calcula ∫(ln x)/x² dx; ∫x² sen x dx; ∫arcsen x dx, indicando u y dv en cada una.

Respuestas: −(ln x)/x − 1/x + C; −x² cos x + 2x sen x + 2 cos x + C; x arcsen x + √(1 − x²) + C.

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