La integración por partes es una de las técnicas más importantes del cálculo integral. Se utiliza cuando el integrando es un producto de dos funciones y permite transformar una integral difícil en otra más sencilla. Esta herramienta resuelve paso a paso integrales del tipo polinomio × exponencial, polinomio × trigonometría, exponencial × trigonometría, productos con logaritmos, funciones inversas y combinaciones triples.
La fórmula proviene de la regla del producto. Si u(x) y v(x) son diferenciables:
La clave es elegir correctamente u (se deriva) y dv (se integra). Criterio LIATE:
Se elige como u la que aparece primero en LIATE.
Genera un ejercicio aleatorio de las familias soportadas y resuélvelo tú primero. Luego comprueba con la calculadora.
Integrando (azul) y derivada de la primitiva (verde punteado). Si coinciden, la primitiva es correcta.
* para multiplicar y ^ para potencias).Antes de usar el resolutor, conviene ver cómo se razona a mano. En todos los casos se parte de ∫u dv = uv − ∫v du y se elige u con la regla LIATE.
Elegimos u = x y dv = sen(2x) dx. Entonces du = dx y v = −cos(2x)/2. Aplicando la fórmula: −x cos(2x)/2 + ½∫cos(2x) dx = −x cos(2x)/2 + sen(2x)/4 + C.
Aquí ln x va primero en LIATE: u = ln x, dv = x² dx, du = dx/x, v = x³/3. Resulta (x³/3) ln x − ∫(x²/3) dx = (x³/3) ln x − x³/9 + C.
Llamamos I a la integral. Con u = cos x y dv = eˣ dx: I = eˣ cos x + ∫eˣ sen x dx. Aplicamos partes de nuevo a la última integral: ∫eˣ sen x dx = eˣ sen x − I. Sustituyendo: I = eˣ cos x + eˣ sen x − I, de donde 2I = eˣ(sen x + cos x) y I = eˣ(sen x + cos x)/2 + C.
Escribimos arctan x · 1: u = arctan x, dv = dx, du = dx/(1 + x²), v = x. Así x arctan x − ∫x/(1 + x²) dx. La última integral se resuelve por sustitución (w = 1 + x²) y vale ½ ln(1 + x²). Resultado: x arctan x − ½ ln(1 + x²) + C.
Deriva la respuesta con la regla del producto: debes recuperar el integrando. Después compara con el resolutor, que muestra la elección de u y dv, cada reducción y una verificación numérica. Para más explicación, consulta la fórmula de integración por partes y la regla LIATE.
Si el integrando es una función compuesta cuya derivada aparece multiplicando (como x·e^(x²)), es más sencillo el método de sustitución. Si la ecuación diferencial es de la forma dy/dx = f(x) y f es una suma de términos simples, usa la calculadora de integración directa.
Sí, es una herramienta educativa gratuita.
Sí, cuando la expresión es compatible con el motor se muestran todos los pasos y una verificación numérica.
Productos clásicos de integración por partes: polinomio×exponencial, polinomio×trigonometría, exponencial×trigonometría, polinomio×logaritmo, potencias de logaritmo, funciones inversas, logaritmos en base b y combinaciones triples.
No. Funciona en el navegador con JavaScript habilitado.
No. Es apoyo al aprendizaje; revisa cada paso antes de usarlo académicamente.
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