¿Qué es la integración directa?
La integración directa es el método más sencillo para resolver una ecuación diferencial de primer orden. Se aplica cuando la ecuación puede escribirse como dy/dx = f(x), es decir, cuando la derivada de y depende únicamente de x y no de y. En ese caso basta con integrar ambos lados respecto de x. Es el primer método que se estudia en un curso de ecuaciones diferenciales porque conecta directamente con lo aprendido en cálculo integral: resolver la ecuación es, en el fondo, encontrar una primitiva.
Fórmula general
Si dy/dx = f(x), entonces y = ∫ f(x) dx + C. La constante C aparece porque la derivada de una constante es cero, de modo que existe una familia infinita de soluciones, una por cada valor de C. Esa familia se llama solución general. Gráficamente, todas las soluciones son la misma curva desplazada verticalmente: tienen la misma pendiente en cada valor de x, pero pasan por puntos distintos.
Procedimiento paso a paso
- Verifica que la ecuación tenga la forma dy/dx = f(x), sin la variable y en el lado derecho.
- Separa la expresión en términos si es una suma o resta (la integral es lineal).
- Integra cada término con la tabla de integrales básicas.
- Suma los resultados y añade la constante C.
- Comprueba derivando: la derivada de tu respuesta debe devolver f(x).
Ejemplo 1: polinomio
Resolver dy/dx = 3x² − 4x + 5. Integramos término a término: ∫3x² dx = x³, ∫−4x dx = −2x² y ∫5 dx = 5x. La solución general es y = x³ − 2x² + 5x + C. Para comprobar, derivamos: 3x² − 4x + 5, que coincide con la ecuación original.
Ejemplo 2: potencias negativas y raíces
Resolver dy/dx = 4/x − 7/x². Reescribimos −7/x² como −7x⁻². Entonces ∫4/x dx = 4 ln|x| y ∫−7x⁻² dx = 7x⁻¹ = 7/x. Resultado: y = 4 ln|x| + 7/x + C. Con raíces el procedimiento es parecido: en dy/dx = 5√x − 3/√x escribimos las raíces como potencias, 5x^(1/2) − 3x^(−1/2), y obtenemos y = (10/3)x^(3/2) − 6√x + C.
Ejemplo 3: exponencial y trigonométrica
Resolver dy/dx = e^(2x) + cos x. La integral de e^(2x) es e^(2x)/2 (dividimos entre la derivada del exponente) y la de cos x es sen x. Entonces y = e^(2x)/2 + sen x + C.
Problema de valor inicial
Si además se conoce un punto, por ejemplo y(1) = 3 para dy/dx = 2x, primero obtenemos y = x² + C. Sustituimos x = 1 y y = 3: 3 = 1 + C, de donde C = 2. La solución particular es y = x² + 2. Otro caso: dy/dx = cos x + 2 con y(0) = 1 da y = sen x + 2x + C; al sustituir, 1 = 0 + 0 + C, así que C = 1 y la solución es y = sen x + 2x + 1.
Cuándo se puede usar
Solo cuando el lado derecho no contiene a y. Si la ecuación mezcla x e y, como dy/dx = xy, hay que recurrir a otros métodos, por ejemplo la separación de variables. También puede ocurrir que f(x) exista pero no sea elemental de integrar a mano (como e^(−x²)); en ese caso la integral se expresa con funciones especiales o se aproxima numéricamente. Si f(x) es un producto, como x·eˣ, necesitarás la integración por partes; si es una composición, el método de sustitución.
Practica
Puedes comprobar tus resultados con la calculadora de integración directa, que muestra la integral de cada término y la solución general. Resuelve primero a mano y usa la herramienta solo para verificar; así es como realmente se aprende el procedimiento. También tienes una colección de problemas en ejercicios resueltos de integración directa.
Ejercicios propuestos
Resuelve dy/dx = 8x³ − 3; resuelve dy/dx = 5/x + eˣ con y(1) = e; resuelve dy/dx = 2 sen x + 3 cos x.
Respuestas: y = 2x⁴ − 3x + C; y = 5 ln|x| + eˣ (porque C = 0); y = −2 cos x + 3 sen x + C.
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