Separación de variables en ecuaciones diferenciales

La separación de variables es el segundo método clásico para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, después de la integración directa. Se aplica cuando la ecuación puede escribirse como dy/dx = g(x)·h(y), es decir, como un producto de una función de x por una función de y. La idea es juntar todo lo de y con dy a un lado, todo lo de x con dx al otro, e integrar.

Procedimiento

1. Escribe la ecuación como dy/dx = g(x)h(y).
2. Divide entre h(y) y multiplica por dx: dy/h(y) = g(x) dx (suponiendo h(y) ≠ 0).
3. Integra ambos lados: ∫dy/h(y) = ∫g(x) dx + C.
4. Despeja y si es posible (solución explícita); si no, deja la solución implícita.
5. Revisa las soluciones constantes que se perdieron al dividir entre h(y).

Ejemplo 1: dy/dx = xy

Separamos: dy/y = x dx. Integramos: ln|y| = x²/2 + C₁. Exponenciando, |y| = e^(C₁)·e^(x²/2), y absorbiendo el signo y la constante en una nueva constante K, y = K e^(x²/2). Con K = 0 se recupera la solución y = 0, que habríamos perdido al dividir entre y.

Ejemplo 2: con condición inicial

Resolver dy/dx = −2xy con y(0) = 3. Separando, dy/y = −2x dx, de donde ln|y| = −x² + C y y = K e^(−x²). Usando y(0) = 3: K·e⁰ = 3, así que K = 3. La solución particular es y = 3 e^(−x²).

Ejemplo 3: solución implícita

Resolver dy/dx = x/y. Multiplicamos por y: y dy = x dx. Integrando, y²/2 = x²/2 + C, o sea y² = x² + K. Aquí es más natural dejar la solución en forma implícita: son hipérbolas (o rectas, si K = 0).

Ejemplo 4: la tangente aparece sola

Resolver dy/dx = 1 + y². Separando, dy/(1 + y²) = dx, y al integrar arctan y = x + C. Por tanto y = tan(x + C). Esta solución solo existe en intervalos donde tan está definida, y por eso las soluciones «explotan» en tiempo finito.

Soluciones perdidas

En dy/dx = y², al dividir entre y² se obtiene −1/y = x + C, es decir y = −1/(x + C). Pero y = 0 también es solución (la derivada de 0 es 0 = 0²) y no aparece en la fórmula para ningún valor de C. Es una solución que queda fuera de la familia general. Por eso conviene siempre comprobar qué ocurre cuando h(y) = 0.

Cómo reconocer una ecuación separable

• dy/dx = x²y → separable (x² por y).
• dy/dx = x + y → no separable (es una suma).
• dy/dx = eˣ⁺ʸ → separable, porque eˣ⁺ʸ = eˣ·eʸ.
• dy/dx = f(x) → es el caso particular con h(y) = 1, o sea la integración directa.

Aplicaciones

Muchos modelos reales son separables: el crecimiento de poblaciones (dP/dt = kP), la desintegración radiactiva y el enfriamiento de Newton, entre otros. Dominar este método es el paso natural después de la integración directa; si quieres repasar la base, mira los tipos de ecuaciones diferenciales. Para las integrales que aparecen puedes usar la tabla de integrales básicas.

Ejercicios propuestos

Resuelve dy/dx = 2y con y(0) = 4; dy/dx = x²y; dy/dx = y/x (con x > 0).

Respuestas: y = 4e^(2x); y = K e^(x³/3); y = Kx.

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