Tabla de integrales básicas
Antes de usar métodos como partes o sustitución, conviene dominar las integrales inmediatas: las que se resuelven directamente al reconocer la derivada de una función conocida. Esta tabla reúne las que más se usan en cálculo y en ecuaciones diferenciales. En todas, C es la constante de integración.
Tabla de integrales inmediatas
| Integral | Resultado |
|---|---|
| ∫ k dx (k constante) | kx + C |
| ∫ xⁿ dx (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹/(n+1) + C |
| ∫ 1/x dx | ln|x| + C |
| ∫ eˣ dx | eˣ + C |
| ∫ aˣ dx (a > 0, a ≠ 1) | aˣ/ln a + C |
| ∫ sen x dx | −cos x + C |
| ∫ cos x dx | sen x + C |
| ∫ sec² x dx | tan x + C |
| ∫ csc² x dx | −cot x + C |
| ∫ sec x tan x dx | sec x + C |
| ∫ csc x cot x dx | −csc x + C |
| ∫ 1/(1+x²) dx | arctan x + C |
| ∫ 1/√(1−x²) dx | arcsen x + C |
| ∫ tan x dx | −ln|cos x| + C |
| ∫ cot x dx | ln|sen x| + C |
| ∫ sec x dx | ln|sec x + tan x| + C |
| ∫ ln x dx | x ln x − x + C |
Las cuatro últimas no son derivadas directas de funciones conocidas; se obtienen con sustitución o partes, pero son tan frecuentes que conviene memorizarlas.
Propiedades de la integral
- Linealidad: ∫[a·f(x) + b·g(x)] dx = a∫f dx + b∫g dx. Por eso se integra término a término.
- Argumento lineal: si ∫f(x) dx = F(x) + C, entonces ∫f(ax + b) dx = F(ax + b)/a + C. Así ∫cos(3x) dx = sen(3x)/3 y ∫e^(2x) dx = e^(2x)/2.
- Versión con a: ∫1/(a² + x²) dx = (1/a) arctan(x/a) + C.
Ejemplos de uso
Ejemplo 1. ∫(6x² − 5 + 2/x) dx = 2x³ − 5x + 2 ln|x| + C.
Ejemplo 2. ∫(3 sen x − 4 eˣ) dx = −3 cos x − 4 eˣ + C.
Ejemplo 3. ∫(5/(1+x²) + 2 sec² x) dx = 5 arctan x + 2 tan x + C.
Ejemplo 4. ∫(x+1)³ dx = (x+1)⁴/4 + C, porque el argumento es x + 1, con a = 1.
Cómo memorizarla
Lo más eficaz es derivar: cada fila de la tabla es una fila de la tabla de derivadas leída al revés. Si dudas del resultado de una integral, derívalo; debe devolver el integrando. Con unas semanas de práctica la tabla se recuerda sola.
Cuando el integrando no aparezca en la tabla, el siguiente paso es el método de sustitución o la integración por partes. Para ejercicios completos con ecuaciones diferenciales, usa la calculadora de integración directa.
Ejercicios propuestos
Calcula ∫(4x³ − 1/x + 3 cos x) dx; ∫sen(5x) dx; ∫2ˣ dx.
Respuestas: x⁴ − ln|x| + 3 sen x + C; −cos(5x)/5 + C; 2ˣ/ln 2 + C.
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