Integrales de funciones trigonométricas

Las integrales de funciones trigonométricas aparecen constantemente en cálculo, física e ingeniería (ondas, circuitos, vibraciones). Algunas son inmediatas y otras requieren identidades trigonométricas o sustitución. Aquí revisamos las más importantes con ejemplos resueltos.

Integrales inmediatas

• ∫sen x dx = −cos x + C
• ∫cos x dx = sen x + C
• ∫sec² x dx = tan x + C
• ∫csc² x dx = −cot x + C
• ∫sec x tan x dx = sec x + C
• ∫csc x cot x dx = −csc x + C

Si el argumento es lineal, se divide entre el coeficiente: ∫sen(ax) dx = −cos(ax)/a + C y ∫cos(ax) dx = sen(ax)/a + C.

Tangente, cotangente y secante

∫tan x dx = −ln|cos x| + C, ∫cot x dx = ln|sen x| + C y ∫sec x dx = ln|sec x + tan x| + C. La primera se deduce con sustitución (u = cos x).

Cuadrados: usa identidades

Para ∫sen² x dx usamos la identidad sen² x = (1 − cos 2x)/2. Entonces ∫sen² x dx = x/2 − sen(2x)/4 + C. Análogamente, como cos² x = (1 + cos 2x)/2, ∫cos² x dx = x/2 + sen(2x)/4 + C. Otra integral útil: ∫tan² x dx = ∫(sec² x − 1) dx = tan x − x + C.

Potencias impares: separa un factor

Para ∫sen³ x dx se escribe sen³ x = sen x·(1 − cos² x). Con u = cos x, du = −sen x dx, queda −∫(1 − u²) du = −u + u³/3 + C. El resultado es −cos x + cos³ x/3 + C. El mismo truco funciona con potencias impares de coseno, usando u = sen x.

Producto sen x cos x

∫sen x cos x dx se resuelve con u = sen x: queda ∫u du = u²/2, o sea sen² x/2 + C. Es el mismo resultado que −cos² x/2 + C, ya que ambos difieren en una constante (1/2), un buen recordatorio de por qué siempre aparece C.

Productos de senos y cosenos de distinto argumento

Se usan las fórmulas producto-suma: sen A cos B = ½[sen(A+B) + sen(A−B)]. Entonces ∫sen 3x cos x dx = ½∫(sen 4x + sen 2x) dx = −cos(4x)/8 − cos(2x)/4 + C. Esta técnica es la base del análisis de Fourier.

Ejemplo con ecuación diferencial

Resolver dy/dt = 3 sen(2t) con y(0) = 1. Integrando: y = −(3/2) cos(2t) + C. Con y(0) = 1: 1 = −3/2 + C, de modo que C = 5/2. La solución es y = 5/2 − (3/2) cos(2t). Este tipo de ecuación se resuelve por integración directa.

Consejos

• Recuerda los signos: la integral de sen es −cos; la derivada de cos es −sen.
• Con potencias pares, usa identidades de ángulo doble; con impares, separa un factor.
• Si aparece un producto con x (por ejemplo x·sen x), usa integración por partes.

Puedes verificar tus resultados con la calculadora de integración directa, que reconoce sen, cos, tan y sec².

Ejercicios propuestos

Calcula ∫cos² x dx; ∫sen(5x) dx; ∫cos³ x dx.

Respuestas: x/2 + sen(2x)/4 + C; −cos(5x)/5 + C; sen x − sen³x/3 + C.

Sigue aprendiendo

Tabla de integrales básicas · Método de sustitución (cambio de variable) · Fórmula de integración por partes

Calculadora de integración directa · Calculadora de integración por partes · Todos los artículos