Método de sustitución (cambio de variable)

El método de sustitución, o cambio de variable, es la versión integral de la regla de la cadena. Se usa cuando el integrando contiene una función compuesta y, en algún lugar, aparece (salvo una constante) la derivada de la función interior. La idea es renombrar esa parte como u para que la integral se vuelva una de la tabla básica.

Procedimiento

Identifica una parte del integrando, u = g(x), cuya derivada aparezca también.
Calcula du = g′(x) dx y despeja dx o la expresión que necesites.
Reescribe toda la integral en términos de u (no debe quedar ninguna x).
Integra respecto de u.
Devuelve el cambio: sustituye u por g(x). Añade C.

Ejemplo 1: ∫ 2x (x² + 1)³ dx

Tomamos u = x² + 1, de modo que du = 2x dx. La integral queda ∫u³ du = u⁴/4 + C. Al deshacer el cambio: (x² + 1)⁴/4 + C. Derivando, 4(x²+1)³·2x/4 = 2x(x²+1)³, como esperábamos.

Ejemplo 2: ∫ x e^(x²) dx

Con u = x², du = 2x dx, así que x dx = du/2. Entonces ∫x e^(x²) dx = ½∫eᵘ du = ½ eᵘ + C = ½ e^(x²) + C. Observa que la constante 1/2 compensa el factor 2 que faltaba en du.

Ejemplo 3: ∫ (ln x)/x dx

Elegimos u = ln x, du = dx/x. La integral es ∫u du = u²/2 + C = (ln x)²/2 + C.

Ejemplo 4: ∫ x/(x² + 4) dx

Con u = x² + 4, du = 2x dx, luego x dx = du/2: ½∫du/u = ½ ln|u| + C = ½ ln(x² + 4) + C (el valor absoluto no hace falta porque x² + 4 es siempre positivo).

Ejemplo 5: la tangente

∫tan x dx = ∫sen x/cos x dx. Con u = cos x, du = −sen x dx: −∫du/u = −ln|u| + C = −ln|cos x| + C. Es una de las integrales de la tabla que se obtienen por este método.

Sustitución en integrales definidas

Se pueden cambiar los límites junto con la variable y evitar devolver el cambio. Por ejemplo, ∫₀¹ 2x e^(x²) dx con u = x²: cuando x = 0, u = 0, y cuando x = 1, u = 1. Entonces ∫₀¹ eᵘ du = e − 1. Si no cambias los límites, debes evaluar la antiderivada en x al final. Lo que no puedes hacer es mezclar límites de x con una integral en u.

Cómo elegir u

Busca la función «interior»: lo que está dentro de un paréntesis, una raíz, un exponente o el argumento de una trigonométrica.
Prueba con el denominador si su derivada aparece en el numerador.
Si no sale, prueba con otra u. A veces no hay una sustitución simple y hay que usar partes.

Cuándo no funciona

Si en ∫x eˣ dx intentas u = x o u = eˣ, la derivada no aparece de forma útil: ese producto se resuelve por partes. En cambio, ∫x e^(x²) dx sí es de sustitución. Distinguir ambos casos es parte de la práctica. Tras sustituir, comprueba tu resultado en la calculadora o derivando; y revisa los fallos habituales en errores comunes al integrar.

Ejercicios propuestos

Calcula ∫3x²(x³ + 5)⁴ dx; ∫sen x cos² x dx; ∫₀^(π/2) sen x cos x dx.

Respuestas: (x³ + 5)⁵/5 + C; −cos³x/3 + C; 1/2.

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