Integral definida e indefinida: diferencias

Aunque ambas se escriben con el símbolo ∫, la integral indefinida y la integral definida son conceptos distintos. La primera produce una familia de funciones; la segunda, un número. El puente entre ambas es el teorema fundamental del cálculo.

Integral indefinida

∫f(x) dx es el conjunto de todas las primitivas de f, es decir, de las funciones F tales que F′(x) = f(x). Se escribe ∫f(x) dx = F(x) + C. Por ejemplo, ∫2x dx = x² + C: los infinitos valores de C dan infinitas funciones que tienen la misma derivada. No tiene límites de integración.

Integral definida

∫ₐᵇ f(x) dx es el área neta entre la gráfica de f y el eje x, entre x = a y x = b. Las partes por encima del eje suman y las que están por debajo restan. Su resultado es un número real, y no incluye constante.

Teorema fundamental del cálculo

Si F es una primitiva de f, entonces ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). La constante C se cancela al restar, por eso no hace falta incluirla. Ejemplo: ∫₀² (3x² + 1) dx. Una primitiva es x³ + x; evaluamos: (8 + 2) − 0 = 10.

Cuadro comparativo

Más ejemplos

Ejemplo 1. ∫₁^e (1/x) dx = [ln x]₁^e = 1 − 0 = 1.

Ejemplo 2. El área bajo y = x² entre 0 y 3 es ∫₀³ x² dx = [x³/3]₀³ = 9.

Ejemplo 3 (área neta frente a área real). ∫₀^(2π) sen x dx = [−cos x]₀^(2π) = −1 − (−1) = 0, porque la parte positiva y la negativa se compensan. Para hallar el área geométrica hay que partir el intervalo: 2∫₀^π sen x dx = 2·2 = 4.

Propiedades de la integral definida

• ∫ₐᵃ f(x) dx = 0.
• Invertir los límites cambia el signo: ∫ₐᵇ f = −∫ᵇₐ f.
• Aditividad: ∫ₐᵇ f = ∫ₐᶜ f + ∫ᶜᵇ f.
• Linealidad: ∫(αf + βg) = α∫f + β∫g.

Advertencia: integrales impropias

El teorema fundamental exige que f sea continua en [a, b]. Si no lo es, el cálculo ingenuo falla: ∫₋₁¹ 1/x² dx no es −2, porque la función no está acotada en x = 0; la integral diverge. Lo mismo ocurre con límites infinitos, que se tratan con límites (integrales impropias).

Relación con las ecuaciones diferenciales

Al resolver una ecuación como dy/dx = f(x) aparece la integral indefinida (con su C) y, al imponer una condición inicial, el valor de C se calcula. Para practicar la parte indefinida, usa la calculadora de integración directa. Si te falta la teoría base, empieza por qué es la integración directa.

Ejercicios propuestos

Calcula ∫₁³ 2x dx; ∫₀^π cos x dx; ∫₀¹ eˣ dx.

Respuestas: 8; 0; e − 1.

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