Ecuaciones diferenciales: qué son y tipos
Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función desconocida con una o más de sus derivadas. Resolverla significa encontrar la función. Son la herramienta matemática principal para describir fenómenos que cambian en el tiempo o en el espacio: el movimiento de un cuerpo, el enfriamiento de un objeto, el crecimiento de una población o la carga de un circuito eléctrico.
Ejemplo básico
La ecuación dy/dx = 2x pide una función cuya derivada sea 2x. Su solución general es y = x² + C. Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que se resuelve por integración directa.
Clasificación principal
Según el tipo de derivadas
- Ordinarias (EDO): la función depende de una sola variable. Ejemplo: y′ = 3y.
- En derivadas parciales (EDP): la función depende de varias variables. Ejemplo: la ecuación del calor, ∂u/∂t = k ∂²u/∂x².
Según el orden
El orden es el de la derivada más alta. y′ = y² es de primer orden; y″ + 4y = 0 es de segundo orden (describe un oscilador armónico).
Lineales y no lineales
Una ecuación es lineal si la función y sus derivadas aparecen solo a la primera potencia y sin multiplicarse entre sí. y′ + 2y = x es lineal; y′ = y² y y·y′ = x no lo son. Las lineales tienen una teoría muy completa; las no lineales suelen ser mucho más difíciles.
Autónomas y no autónomas
Si x no aparece explícitamente (y′ = f(y)), la ecuación es autónoma. Es el caso del crecimiento logístico y′ = ky(1 − y).
Métodos para primer orden
| Tipo | Forma | Idea del método |
|---|---|---|
| Integración directa | y′ = f(x) | Integrar ambos lados |
| Separable | y′ = g(x)h(y) | Separar e integrar |
| Lineal | y′ + p(x)y = q(x) | Factor integrante |
| Exacta | M dx + N dy = 0 con ∂M/∂y = ∂N/∂x | Buscar una función potencial |
| Homogénea | y′ = F(y/x) | Sustitución v = y/x |
Soluciones general y particular
La solución general contiene constantes arbitrarias (tantas como el orden). Una solución particular se obtiene al fijar esas constantes con condiciones iniciales. Por ejemplo, y′ = 2y tiene solución general y = Ce^(2x); si y(0) = 5, entonces C = 5 y y = 5e^(2x). El conjunto de la ecuación más la condición inicial se llama problema de valor inicial.
Existencia y unicidad
Bajo condiciones razonables (f y ∂f/∂y continuas), el problema y′ = f(x, y), y(x₀) = y₀ tiene una única solución cerca de x₀. Es un resultado fundamental que garantiza que tiene sentido buscar «la» solución.
Aplicaciones típicas
- Enfriamiento de Newton: dT/dt = −k(T − Tₐ), con Tₐ la temperatura ambiente.
- Crecimiento de poblaciones: dP/dt = kP (exponencial) o dP/dt = kP(1 − P/M) (logístico).
- Circuitos RC: relacionan la carga del condensador con el tiempo.
- Desintegración radiactiva: dN/dt = −λN.
Por dónde empezar
El orden recomendado es: dominar las integrales con la tabla básica, practicar con ejercicios resueltos, y después pasar a separación de variables y a las ecuaciones lineales. La calculadora de integración directa te permite comprobar los casos más simples.
Ejercicios propuestos
Clasifica según tipo, orden y linealidad: (a) y″ − 3y′ + 2y = 0; (b) y′ = x²y; (c) ∂u/∂t = ∂²u/∂x².
Respuestas: (a) EDO de segundo orden, lineal; (b) EDO de primer orden, lineal y separable; (c) EDP de segundo orden (ecuación del calor).
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