Ejercicios resueltos de integración directa

La mejor forma de aprender integración directa es resolver ejercicios y comprobar cada resultado. Aquí tienes diez problemas con su solución completa, ordenados de menor a mayor dificultad. Intenta resolver cada uno antes de leer la respuesta. Si necesitas repasar la teoría, empieza con qué es la integración directa.

Parte A: integrales indefinidas

Ejercicio 1. ∫(6x² − 4x + 7) dx.
Solución: integrando término a término, 2x³ − 2x² + 7x + C.

Ejercicio 2. ∫(3/x + 2eˣ) dx.
Solución: 3 ln|x| + 2eˣ + C.

Ejercicio 3. ∫(√x + 1/√x) dx.
Solución: escribimos x^(1/2) + x^(−1/2). Resulta (2/3)x^(3/2) + 2√x + C.

Ejercicio 4. ∫(x + 2)³ dx.
Solución: con argumento lineal (a = 1): (x + 2)⁴/4 + C.

Ejercicio 5. ∫(x² + 1)/x dx.
Solución: dividimos primero: x + 1/x. Resultado: x²/2 + ln|x| + C.

Ejercicio 6. ∫(2x − 1)² dx, de dos maneras.
Solución: expandiendo, 4x² − 4x + 1, cuya integral es 4x³/3 − 2x² + x + C. Con argumento lineal (a = 2): (2x − 1)³/6 + C. Ambas son correctas: la segunda es 4x³/3 − 2x² + x − 1/6 + C, y la diferencia es solo una constante.

Parte B: ecuaciones diferenciales con condición inicial

Ejercicio 7. dy/dx = 4cos x − sen x, con y(0) = 2.
Solución: y = 4 sen x + cos x + C. Con x = 0: 0 + 1 + C = 2, así que C = 1. La solución es y = 4 sen x + cos x + 1.

Ejercicio 8. dy/dx = 5/(1 + x²) + 3x², con y(0) = 1.
Solución: y = 5 arctan x + x³ + C. Con x = 0: 0 + 0 + C = 1. Entonces y = 5 arctan x + x³ + 1.

Ejercicio 9. dy/dx = e^(2x), con y(0) = 3.
Solución: y = e^(2x)/2 + C. Con x = 0: 1/2 + C = 3, de donde C = 5/2. La solución es y = (e^(2x) + 5)/2.

Ejercicio 10. dy/dx = 3 sec² x − 2/√(1 − x²).
Solución: y = 3 tan x − 2 arcsen x + C.

Cómo comprobar tus respuestas

1. Deriva tu resultado y verifica que obtienes el lado derecho de la ecuación.
2. En un problema de valor inicial, sustituye el punto dado en la solución final.
3. Contrasta con la calculadora de integración directa: copia la ecuación (por ejemplo, y' = 4*cos(x) - sin(x)) y compara los pasos.

Si un ejercicio no te sale

Los ejercicios con productos como x·eˣ requieren integración por partes; los que tienen una función compuesta, sustitución. Revisa también los errores comunes al integrar, porque suelen explicar por qué un resultado no coincide con el esperado.

Ejercicios propuestos

Para practicar sin ayuda: ∫(5x⁴ − 2/x² + 3) dx; dy/dx = 6x² − 4 con y(1) = 5; ∫(3 sen x + 4/(1 + x²)) dx.

Respuestas: x⁵ + 2/x + 3x + C; y = 2x³ − 4x + 7; −3 cos x + 4 arctan x + C.

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